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为什么同样都是爱读书你却总是没进步？
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Pirie & Kieren 在 1994 年提出一个数学理解成长模型（Growth of Mathematical Understanding Model），用来解释人们在学习数学（概念、知识）的时候分别走过的若干个阶段及其路径。题图呢，是我为了显示足够清楚用 Sketch 重新画的 —— 大致差不多。而原图呢，如下所示：
在 Pirie & Kieren 的模型里有个重要的概念，叫 “Folding Back”，“折回”。也就是说，“从入门到精通”的这个过程，常常并不是一路走过去的，而是在不同的阶段常常不得不 “折回” —— 为了更深刻地理解、为了去除部分错误的理解、为了加强某些必要方面的理解，有时甚至是为了重新认识（因为之前完全搞错了）……
Pirie & Kieren 的这个模型其实可以套用在任何知识的习得过程中（不仅仅用来描述数学学习成长过程），甚至简化一下之后更为实用：
以上红色的曲线，其实是我随便画的，意思是，总之就是不可能一路直线走出去，而是迂回曲折多次转弯，最终才能走出去。在每个节点上，都有人放弃、迷失、无奈……
这就解释为什么践行那么难，即便是看起来非常简单的概念和知识。“听了那么多道理，却依然过不好一生” 的揶揄，倒也从另外一方面描述了习得与践行的难度 —— 很多人对绝大多数知识点只是处于 “曾经产生过印象” 的阶段，从未进一步深入过。这样的知识点的例子数不胜数 —— 小学时就学过，一辈子没用明白……
之前就提到过，进步的进程也不是直线的，有时候甚至常常需要跨越；现在我们又进一步知道了，过程中的每一步拆解下来，可能也是如此地曲折。
这也是为什么好书要读很多遍的重要原因（也请阅读这一篇：《如何真正消化一本书》）：
第一遍的时候，有大量的点只不过是 “产生了印象” 而已，根本做不到 “深入了解”、更做不到 “熟练运用” —— 因为运用本身就需要时间和耐心，并且还要在这个过程中为了 “优化方法论” 而多次 “折回”，最终才能做到真正 “升级”…… 所以，读很多遍，想很多遍，做很多遍，才可能真正进步。
人和人之间的差异有多大呢？有点像有的人一天下来走了几百步，而另外一些人每天走三五万步，一天又一天，你说差异有多大？—— 只不过从表面看不出来而已。
你看，大多数人只不过是学学习，读读书，而有些人却不一样，干脆是战斗，那结果能一样吗？
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